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集合和集合运算

分类:知识大全作者:互联网王者 发布时间:2019-03-14 14:23:29阅读:2.6万+ 属地:未知

引言:集合,简称集,是集合论的主要研究对象。集合论创立于19世纪,集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

一、集合的概念

集合,简称集,是集合论的主要研究对象。集合论创立于19世纪,集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。


集合,是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素,由一个或多个确定的元素所构成的整体。或者说是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体,其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素。集合中元素的数目称为集合的基数,集合 A 的基数记作:card(A),含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集。


元素:元素与集合之间的关系是从属关系(属于或者不属于)。集合元素的性质:确定性、互异性、无序性。

确定性是指给定一个元素其在集合中是否存在是确定的,互异性是指一个集合中任何两个元素都是不同的,无序性是指一个集合中元素间是无序的。

集合的表示方法有列举法,比如A= {a,b,c};描述法,例B = {x|x2=2};区间法,用数轴、无穷大、无穷小、开区间、闭区间 、半开半闭区间表示;图示法,如下图所示。

常见数集及记法:

N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

N*或N+:正整数集合{1,2,3,…}

Z:整数集合{…,-1,0,1,…}

Q:有理数集合

Q+:正有理数集合

Q-:负有理数集合

R:实数集合(包括有理数和无理数)

R+:正实数集合

R-:负实数集合

C:复数集合

∅ :空集(不含有任何元素的集合)

集合与元素的关系:集合与元素的关系:①a属于A,记作a∈A。②a不属于A,记作a∉A 。


全集与子集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作:U。

设 S、T 是两个集合,如果 S 的所有元素都属于 T,则称 S 是 T 的子集,记为: S(右倒的U底下加横线)T。

显然,对于一个集合自身与空集有:如果 S 是 T 的一个子集,但在 T 中存在一个元素 x 不属于 S,即:(右倒的U底下加横线,横线上加一撇),则称 S 是 T 的一个真子集。


空集 空集是特殊的集合,其不包含任何元素,记为:∅,空集是任意一个非空集合的真子集,空集是任何一个集合的子集。


并集:设A和 B 是两个任意集合,所有属于A或属于 B 的元素组成的集合,称为集合与 B 的并集,记作A∪B={x|x∈A,或x∈B} 。

交集:既属于A又属于 B 的所有元素组成的集合,称为集合A与 B 的交集,记作A∪B={x|x∈A,或x∈B} 。

补集:由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合,称为 B 关于 A 的相对补集,记作:A-B 或 A\B,A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集,记作:A' 或 Cu(A) 或 ~A。

幂集:对于一个集合 A,其所有子集组成的集合,称为集合 A 的幂集。有限集 A 的幂集的基数等于 2 的有限集 A 的基数次幂。

差集:集合A和集合B的差集可以表示为A - B,其中A - B = {x| x∈A且x∉B}。

相等集合:如果两个集合 S 和 T 的元素完全相同,则称 S 与 T 两个集合相等,记为:S=T

二、集合的运算

对于两个集合 A、B ,则存在以下运算:

交换律:A∩B=B∩A、A∪B=B∪A

结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C、A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配对偶律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)、A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

对偶律:(A∪B)^C=A^C∩B^C、(A∩B)^C=A^C∪B^C

同一律:A∪∅=A、A∩U=A

求补律:A∪A'=U、A∩A'=∅

对合律:A''=A

等幂律:A∪A=A、A∩A=A

零一律:A∪U=U、A∩∅=∅

吸收律:A∪(A∩B)=A、A∩(A∪B)=A

反演律(德·摩根律):(A∪B)'=A'∩B'、(A∩B)'=A'∪B'

容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)


笛卡尔积:

笛卡尔乘积是指在数学中,两个集合A和B的笛卡尔积(Cartesian product),又称直积,表示为A × B,第一个对象是A的成员而第二个对象是B的所有可能有序对的其中一个成员.

A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

例如,A={a,b}, B={0,1,2},则

A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}

B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}


1.对任意集合A,根据定义有

AxΦ =Φ , Φ xA=Φ

2.一般地说,笛卡尔积运算不满足交换律,即

AxB≠BxA(当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时)

3.笛卡尔积运算不满足结合律,即

(AxB)xC≠Ax(BxC)(当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律,即

Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)

(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)

Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)

(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

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